阿Q的感悟

阿Q从2月10日起都是看书自学的，但是在 3月5日这天遇到了不定积分，阿Q自己看没怎么明白，于是去B站找了不定积分课程，在听了凯哥讲解有理函数积分后倍感还是要针对性地去听课 + 整理，不然自学掌握的只能是冰山一角。

接下来的数学学习之路要改正一下，先自学一遍张宇本讲内容，然后去搜相应的课程，看看自己漏了多少知识，然后补上。

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2025考研数学大纲

高数

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线性代数

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概率论与数理统计

心路历程

25-3-16 一元函数积分学

阿Q之前一直都对积分学有很浅显的认知，对不定积分，定积分，变限积分和反常积分的概念十分混乱。

阿Q在看完了定积分和不定积分的计算 后 从头再看概念，有种全新的视角，迫不及待地想记录下来。

阿Q的新视觉有：

1、目前对整个高数的看法（阿Q表述不出来，在ds小姐帮助下才描绘出语言）：

• 微分学的视角：从函数到变化（预测未来）
  • 核心：通过已知函数（或数据拟合的模型）分析瞬时变化率，预测下一步趋势。
  • 实例：自由落体运动中，已知位移函数 s(t) = 1/2 * gt^2，用微分求瞬时速度 v(t)=s′(t)=gt，即可预测下一时刻物体的速度。
  • 实际应用：
    • 股票价格预测：用历史数据拟合函数，通过导数预测短期涨跌速率。
    • 疫情传播模型：用感染人数函数求导，预测新增病例的变化趋势。
• 积分学的视角：从变化反推原函数（还原过程）
  • 核心：已知变化率（如速度、增长率）或变化曲线，结合初始条件（初态），积分还原原函数（如位移、总量）。
  • 实例：已知物体速度 v(t)=gt，初始位置 s(0)=0，通过积分 s(t)=∫(0->t)gτ dτ = 1/2 gt^2，还原位移函数。
  • 实际应用：
    • 经济数据恢复：已知每月GDP增长率，积分还原全年GDP总量。
    • 卫星轨道计算：已知加速度（变化率），积分得到速度和位置。
• 关键区别与联系
  • 微分：从整体到局部（函数 → 瞬时变化率），用于预测。
  • 积分：从局部到整体（变化率 + 初值 → 原函数），用于还原。
  • 互为逆运算：微分和积分是微积分基本定理的核心，二者通过初始条件关联。
• 更直观的比喻
  • 微分：给你一段录像（连续过程），让你分析某一帧的瞬时动作（如跳水运动员的瞬间速度）。
  • 积分：给你一系列快照（每帧的动作变化），让你拼接成完整录像（如通过每秒速度还原跳水全程）。

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2、微分学和积分学的桥梁

目前 阿Q 见到的桥梁即为 N-L公式

不定积分 – 可视为函数求导的逆运算（阿Q也可以将其视为微分学范围）

定积分（包括常义定积分和广义定积分 – 反常积分） – 和式极限 （积分学范围）

但是N-L公式成立的前提是非常苛刻的：在所给区间内 ① f(x)可积 ② f(x)原函数存在

几何理解如图：

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3、不定积分、定积分、反常积分、变限积分的联系和区别：

都需要规定区间范围

1）定积分和反常积分 求出来 都为具体的值，只不过前者要求在有限区间内函数有界，后者是前者的推广（区间有界，函数在区间内有无穷间断点（瑕点） / 区间无界）

2）不定积分 – 求原函数，那就需要保证在 f(x)在区间是连续的

3）变限积分，如变上限积分，其求出的也为函数，只是该函数记录的是从初态到当前位置 f(x)的累加（可理解为原函数变化率的累加）

阿Q：考研复习不仅要会做题，还需要去思考其现实意义 和 概念 （不仅要去学，更要去知道为什么学），这样才能不断提升认知。

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25-3-23 定积分应用 – 切片思想

无论是在定积分的几何应用（平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的侧面积、曲边梯形的形心/质心），还是在物理应用（万有引力、液体静压力、变力沿直线做功、抽水做功），都使用到了一种思想 – 切片/微元思想。

以旋转体体积为例，如图：